①一个正规意义上的非合作博弈应包含三个要素:至少有两个局中人,每个局中人都有可供选择的策略空间,与每个策略组合对应的各局中人的支付函数。

②合作博弈是指局中人之间能够形成一系列潜在的有约束力的协议,而非合作博弈则反之。

③如果想了解更多的关于讨价还价承诺的详细博弈分析,可参见Grawford(1982),Muthoo(1996),以及Guth、Ritzberger和Damme(2004)。

④在某些冲突中,战争可能比别国动员了军队、本国因没有动员而蒙受耻辱更受欢迎。在这种情形下,就可能是a>b>0>c,这个博弈就变成囚徒困境,结果将是双方都动员军队,见3.1。

⑤如今出现了大量关于讨价还价和其他博弈焦点的文献,其中许多是参考谢林的研究成果并受谢林的启发后才得以问世的。下面我们将回到协作问题。

⑥动员军队的期望收益为(1-p)a,而不动员军队的期望收益为pc+(1-p)b,令两者相等,则可求得均衡概率P。

⑦如果两个国家的行为在统计上是独立的,那么发生战争的概率就是q=p2μ+(1-p)2v,其中μ是当两个国家都动员军队时发生战争的概率,而v是没有国家动员军队时发生战争的概率(有vv/(μ+v)时,q随着p的增大而增大。因此,当c

⑧假设当国家2动员军队时,国家1可以承诺要以任何概率π∈[0,1]进行报复。如果国家2的收益还如图1所示,那么威慑就要求b≥(1-π)a,或者π≥1-b/a=π*。

⑨令θ是国家1从属于国家2不顾报复威胁仍然动员军队的概率。如果π

10在一个扩展型博弈中,一个Nash均衡如果它在每一个子博弈中都能导出Nash均衡,那么它就是子博弈完美的。由于Nash均衡只需要在博弈路径上是最优的,所以Nash均衡可能更依赖于并不会真正实施的“威胁”与“承诺”。子博弈完美将减少很多这样的均衡,后来Selten(1975)提出了更强的“完美”精炼。

11去年的(诺贝尔)经济学奖授予了Finn Kydland和Edward Prescott,部分原因就是他们在识别和分析经济政策制定中的承诺问题时所做出的贡献。宏观经济学中关于委托问题的文献大部分受到了他们的启发,见Rogoff(1985)。

1○2 Admati和Perry(1991)其实是最早发现上述问题的,但他们的分析仅仅基于一种特殊的公平环境,所以只能对谢林的猜想给予微弱的支持。

13试图揭示基本协作机制而进行后续研究的学者有Mehta、Starmer和Sugden(1994a,b),他们对协作实验进行了回顾,最近的理论研究请参见Binmore和Samuelson(2005)。

14这与前面的那个例子不同,在前面的例子中战争是最坏的结果。

15最近,Baliga和Sjostrom(2004)进行了正式的分析。

16秘密进行军事部署的问题使得评估谢林的工作对超级大国行为的真正影响出现了困难。然而,有一个其他证据也许能从侧面说明一些问题,那就是1993年谢林由于其在阻止核战争方面的贡献而获得了美国国家科学学术奖。

17这其中的前两篇作为第三章和第四章收录在谢林(1984b)的书中重新出版。

18对该问题早期的正式研究可参阅Strotz(1956)以及Pheips和Pollak(1968)等的论文。